Calcul différentiel et équations différentielles : Cours et by Sylvie Benzoni-Gavage

By Sylvie Benzoni-Gavage

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Camus (Life &Times)

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Par définition, la différentielle de d f en x, d(d f )(x) est une application linéaire continue de E dans L(E; F). Elle s’identifie naturellement avec une application bilinéaire continue sur E × E, en vertu de la Soient E, F et G des espaces de Banach. 2 L(E;L(F;G)) f L(E,F;G) = sup{ = sup{ f(h, k) (h) G L(F;G) , ; h E h E ≤ 1}, ≤ 1, k F ≤ 1} sont isométriques. Démonstration. L’isométrie « naturelle » est définie comme suit. À f ∈ L(E, F; G), on associe définie par (h) : k → f(h, k) . 2 • Différentielles d’ordre supérieur 50 Pour tout h ∈ E, on a (h) ∈ L(F; G) avec (h) = L(F;G) sup k∈F\{0} f(h, k) k F G ≤ f L(E,F;G) h E , et de plus ∈ L(E; L(F; G)) avec L(E;L(F;G)) = sup sup h∈E\{0} k∈F\{0} f(h, k) h E k G = f F L(E,F;G) .

La réciproque de g est nécessairement de la forme g −1 (x, z) = ( x , f(x, z) ) , avec f de classe C1 sur Wa × Z 0 . Autrement dit, on a ( (x, y) ∈ U(a,b) et f (x, y) = z ) ⇔ ( (x, z) ∈ Wa × Z 0 et y = f(x, z) ) . En particulier, ( (x, y) ∈ U(a,b) et f (x, y) = 0 ) ⇔ ( x ∈ Wa et y = w(x) ) , où l’on a noté w(x) = f(x, 0). 20, quitte à réduire Wa , on a dw(x) · h = − (d2 f (x, w(x)))−1 d1 f (x, w(x)) · h pour tout x ∈ Wa et pour tout h ∈ E. Démonstration. L’image réciproque de l’ouvert Isom(F; G) par l’applica- tion continue d2 f est un ouvert et il contient (a, b).

N} h i ≤ ´ dg(yn ) Ei ≤ ´. ≤ h, yn − xn pour ≤ h, En et le théorème des accroissements finis (appliqué à g dans la boule de centre xn et de rayon h, qui est bien convexe) implique g(xn + h n ) − g(xn ) F ≤ ´ hn En . ,n} h i Ei ≤ h1 implique n di f (x) · (h i ) f (x + h) − f (x) − i=1 ≤ ´ ( h1 F E1 + · · · + hn En ). 3 THÉORÈME D’INVERSION LOCALE Commençons par introduire la notion fondamentale de difféomorphisme (en fait de C1 -difféomorphisme, mais on omettra systématiquement le « préfixe » C1 ).

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