Analyse Harmonique Commutative by A Guichardet

By A Guichardet

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6 ou se vérifier directement. L'application x -+ 9x de G dans [f(G) est alors : - injective parce que le dual de L 1 (G) est L 00 (G) et que deux fonctions continues égales presque partout sont égales partout ; - surjective : soit {) un caractère de L 1 (G) et soitf e L 1 (G) telle 37 GROUPE DUAL, TRANSFORMATION DE FOURIER que l)(f) =/: 0 ; pour tout r e G posons x(r) = l)(fr)/l)(f) ; on a alors x(e) = 1 ; puis la relation fr *fs = frs * f entraîne x(rs) = x(r) x(s) ; ensuite définissons U et 'Pu comme à la proposition 1 .

4], chap. dµ(t). En particulier pour p = 1, µ *fa le même sens qu'au § 1 . dt 28 [CHAP. ANALYSE HARMONIQUE COMMUTATIVE 1] Sif et g E L 1(G) n L 2 (G),f * g est continue et bornée. 2. 1) ; donc aussi son produit scalaire avec f · ~ Exercice. Montrer que pour 1 ~ p ~ + oo, l/p + l/q = l,fe LP(G)etg E U(G), on peut définir f * g et que cette fonction est uniformément continue et bornée ; et même nulle à l'infini pour l < p < + oo. 6. AUTRES PROPRIÉTÉS DE L 1(G) ET M 1 (G). Proposition 1. 7. L'algèbre L 1 (G) admet un élément unité si et seulement si G est discret.

F_ ·· : :; e Il µ Il + 2e. G-K Le produit de deux fctp est encore une fctp. Car il correspond au produit de convolution des deux mesures associées. 3. On sait que les mesures de Dirac sont les éléments extrémaux de l'ensemble convexe formé par les mesures positives de norme 1 ; le théorème de Bochner montre donc que les caractères de G sont les éléments extrémaux de l'ensemble convexe formé par les fctp de norme 1 ; il montre aussi que toute fctp peut être décomposée en une intégrale de caractères.

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