Algèbre linéaire by Joseph Grifone

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Montrer que l’ensemble E = {A ∈ Mn (K) | Tr(A) = 0} est un sous-espace vectoriel de Mn (K). En donner une base pour n = 2. 2. Soit E l’ensemble des matrices de Mn (K) ` a trace nulle et telles que la somme des ´ el´ ements de chaque ligne est nulle. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de Mn (K). En donner une base pour n = 3. * 12 ˘ ¯ Soit E = P ∈ R2 [x] : P = λ + (2λ − 3µ) x + µ x2 , (λ, µ ∈ R) . Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R2 [x] et en donner une base. 13 Soit P (x) un polynˆ ome ` a cœfficients r´ eels, de degr´ e n.

Exemple 2. – L1 L2 L1 L′2 =L2 −2L1 L′3 =L3 −L1 8 > > < > > : x + 2y − z = 1 2x +3y + z = 2 L3 x + 4y − 6z = 2 8 8 x + 2y − z = 1 L1 > > > > < < ′ − y + 3 z = 0 −→ L2 > > > > : : 2y − 5z = 1 L′3 +2L′2 x + 2y − z = 1 − y + 3z = 0 z=1 On a donc z = 1. En reportant dans l’´equation L′2 on obtient la valeur de y : y = 3. En remontant maintenant dans l’´equation L1 on trouve x : x = −2 y +z +1 = −6+1+1 = 4. Le syst`eme admet donc la solution unique x = −4, y = 3, z = 1. Comme on le voit, la m´ethode consiste ` a mettre le syst`eme «sous forme ´echelonn´ee » de mani`ere `a pouvoir, en partant de la solution de la derni`ere ´equation et en remontant, r´esoudre toutes les ´equations.

Comme nous le verrons au chapitre 6, cette distinction est importante 13 . 40 – Soit E de dimension finie. Alors E = E1 ⊕· · ·⊕Ep , si et seulement si : 1. E = E1 + · · · + Ep . 2. dim E = dim E1 + · · · + dim Ep . Les conditions sont ´evidemment n´ecessaires. Supposons qu’elles sont satisfaites et soient B1 , . . , Bp , des bases respectivement de E1 , . . , Ep . La famille B = {B1 , . . , Bp } est g´en´eratrice de E (d’apr`es la condition 1. 36). D’autre part, la condition 2. implique que le nombre d’´el´ements de B est ´egal `a la dimension de E.

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