Algèbre: Chapitre 4 à 7 (French Edition) by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

Ce deuxième quantity du Livre d’Algèbre, deuxième Livre des Éléments de mathématique, traite notamment des extensions de corps et de los angeles théorie de Galois. Il comprend les chapitres : four. Polynômes et fractions rationnelles ; five. Corps commutatifs ; 6. Groupes et corps ordonnés ; 7. Modules sur les anneaux principaux.

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MA- ,Xn- . Les hypothèses du lemme entraînent que g(a,) = ... = g(an) = O, donc g = O d'après l'hypothèse de récurrence, d'où f = 0. PROPOSITION 19. - Soient M un A-module libre, N un A-module, G un sous-groupe additif infini de A. On suppose que les homothéties de N définies par les éIéments non nuls de G sont injectives. Alors Pol(M, N) est somme directe des PolyM, N). , fn tels que fi E Poli(M, N). Supposons qu'on ait la relation f, ... fn = O. Soit x E M. Pour tout 3L E G, on a + + n D'après le lemme 2, appliqué au polynôme 1 fi(x) Xi, on a i=O fo(x) = ...

3) Si u E A[(Xi)i,i] est un polynôme, les polynômes APu et Diu définis dans IV, p. 6 et 7, coïncident avec les séries formelles désignées ici par le même symbole. 6. Dérivations de l'algèbre des séries formelles Soient 1un ensemble, E une A-algèbre associative, commutative et unifère, linéairement topologisée, séparée et complète, et x = (xi),, une famille d'éléments de E satisfaisant aux conditions a) et b) de la prop. 4 (IV, p. 26). Soit

Fn(x) = o. COROLLAIRE. - On suppose A intègre infini. Soient M un A-module libre, N un A-module sans torsion. (i) On a Pol(M, N) = @ Polq(M, N), et chaque Polq(M, N) s'identzJîe canoniqBO quement à Hom(TS"M), N). (ii) Soient f E Pol(M, N), et (e,),, une base de M. Il existe une famille et une seule (u,),,,(,, d'éléments de N tels que f hiei) = C hvuvpour tout (hi) E A('). (C id vsN(1) L'assertion (i) résulte des prop. 16 et 19. L'assertion (ii) résulte de (i) et du cor. de la prop. 16. 11. Relations entre S N * ) , TS(M)*gr et Pol(M, A) Soit M un A-module libre.

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