Algèbre 1 [Lecture notes] by Laurent Berger

By Laurent Berger

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Si l’on choisit des bases de M et N , alors la matrice de la base de N selon celle de M est une matrice P ∈ Mr×s (A) et si l’on change les bases de M ou de N , cela revient a` remplacer P par XP Y avec X ∈ GLr (A) et Y ∈ GLs (A). Pour montrer le th´eor`eme, il faut donc montrer qu’il existe X ∈ GLr (A) et Y ∈ GLs (A) telles que XP Y a tous ses termes nuls sauf ses s premiers termes diagonaux, et que ceux-ci satisfont la condition (2). Nous allons montrer que l’on peut faire cela en ne modifiant P que par des op´erations ´el´ementaires sur les lignes et les colonnes (si A n’est que principal, alors ce n’est justement pas toujours possible).

C’est un id´eal de A et il est donc engendr´e par un ´el´ement ai+1 ∈ A. Si ai+1 = 0, alors Ni+1 = Ni et Ni+1 est bien libre de rang ≤ i + 1. Sinon, soit x ∈ Ni+1 tel que x = b1 m1 + · · · + bi mi + ai+1 mi+1 . Si y ∈ Ni+1 , alors il existe b ∈ A tel que y − bx ∈ Ni et comme Ni ∩ (x) = {0}, on a Ni+1 = Ni ⊕ (x) qui est donc libre de rang ≤ i + 1. Contrairement a` ce qui se passe pour les espaces vectoriels sur un corps, il n’existe pas n´ecessairement P ⊂ M tel que M = N ⊕ P , par exemple N = 2Z n’a pas de « suppl´ementaire » dans M = Z.

Deux clˆotures alg´ebriques de K sont isomorphes, et on parle g´en´eralement de « la » clˆoture alg´ebrique de K, que l’on note K. Par exemple, C n’est pas une clˆoture alg´ebrique de Q car il contient des nombres tels que e ou π qui ne sont pas alg´ebriques sur Q (on dit alors qu’ils sont transcendants), mais C contient Q, la clˆoture alg´ebrique de Q, qui est l’ensemble des nombres complexes qui sont alg´ebriques sur Q. 2. Le th´ eor` eme de Hilbert Le r´esultat ci-dessous est connu sous le nom de th´eor`eme de la base de Hilbert.

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