30 ouvrages de mathématiques qui ont changé le monde by Jean-Jacques Samueli, Jean-Claude Boudenott

By Jean-Jacques Samueli, Jean-Claude Boudenott

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Arithmétique et travaux pratiques cycle d'observation classe de sixième

Manuel de mathématiques, niveau sixième. Cet ouvrage fait partie de los angeles assortment Lebossé-Hémery dont les manuels furent à l’enseignement des mathématiques ce que le Bled et le Bescherelle furent à celui du français.

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Eocemple 4. |_оо /(x) = oo, / n’est pas une application ouverte. En effet, / atteint sa borne inférieure en un point xq avec /( xq) > 0 (Justifier), et l’image de R est [/(xo),+oo[ qui n’est pas im ouvert dans ]0,oo[. 1,2. Définition. — Soient {X^J\ deux espaces topologiques. Une application f : X Y est dite continue (précisément J continue) au point xq Çl X si elle vérifie Vune des deux conditions équivalentes suivantes : i) Pour tout voisinage W de /( xq) il existe un voisinage V de xq tel que f{V) C W ii) Vimage réciproque de tout voisinage de /( xq) est un voisinage de Xq.

Vimage d'un ouvert est un ouvert). - fermée (précisément J , J'-fermée), si pour tout fermé F C X, f {F) est fermé (Le. Vimage d'un fermé est un fermé). Remarques. 1. Pour que f : X Y soit une application ouverte il suffit que f{uj) soit un ouvert lorsque u appartient à une base de J (en effet rimage d’une réunion est la réiinion des images). 2. De même, / est ouverte si tout voisinage de x a pour image im voisinage de f{x) quel que soit x e X. 3. En général ime application ouverte n’est pas ime application fermée et vice-versa.

Appelons voisinage d’un point m = Dans l’espace vectoriel (x,y) toute partie Wm de j ^ contenant un sous-ensemble Vm de la forme : Vm = {{x,y) I a < X < 6} 30 Initiation à l’analyse fonctionnelle Les Wm vérifient les axiomes (i), (ii), (iii), (iv) et définissent une topologie sur L’ensemble u est im ouvert pour cette topologie si et seulement si tout point m E cj est contenu dans une bande Vm C u. Exercice. - Préciser la forme des ouverts de l’exemple 2 ci-dessus. - Comparer cette topologie avec la topologie usuelle de R^.

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